近世代數(shù)

 

    一、考查目標(biāo)

 

    近世代數(shù)是以研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)、構(gòu)造與分類為中心的一門學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個(gè)分支的基礎(chǔ)學(xué)科之一。要求學(xué)生通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，掌握近世代數(shù)的基本概念與基本理論，主要包括群、環(huán)、域等基礎(chǔ)理論，培養(yǎng)抽象思維的能力。考試目的主要考察學(xué)生對(duì)群、環(huán)、域這三類較為常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)的概念和及其性質(zhì)的掌握程度，以及學(xué)生利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行抽象思維的能力。

 

    二、試卷結(jié)構(gòu)

 

    1、題型結(jié)構(gòu)

 

    計(jì)算題（約40%），證明題（約60%），共計(jì)100分

 

    2、內(nèi)容結(jié)構(gòu)

 

    群論（約40%），環(huán)論(約40%），域論（約20%）

 

    三、考試內(nèi)容及要求

 

    1、群論

 

    考試內(nèi)容：關(guān)系、等價(jià)關(guān)系與劃分的對(duì)應(yīng)、群論的基本概念（包括子群、陪集、群同態(tài)、循環(huán)群、置換群、群的直積、群作用等）、性質(zhì)及循環(huán)群的結(jié)構(gòu)、群同態(tài)基本定理、拉格朗日定理、西羅定理、軌道穩(wěn)定子公式等基本定理。

 

    考試要求：了解集合、映射、關(guān)系以及等價(jià)類的概念；理解等價(jià)關(guān)系和劃分的對(duì)應(yīng)。理解群、子群、生成子群、群同構(gòu)、循環(huán)群、置換群和對(duì)稱群等概念，會(huì)證明兩個(gè)群是否同構(gòu)，熟練掌握循環(huán)群的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)及分類，掌握置換的輪換分解定理，了解置換在對(duì)稱變換群中的應(yīng)用。掌握左右陪集的概念和性質(zhì)，會(huì)用拉格朗日定理和指數(shù)公式，熟練掌握正規(guī)子群和商群的概念及性質(zhì)，熟練掌握群同態(tài)的概念及同態(tài)定理，掌握群的內(nèi)外直積的概念和性質(zhì)，熟練掌握群作用的概念及軌道穩(wěn)定子定理，了解伯恩塞德引理，熟練掌握西羅定理及其應(yīng)用，會(huì)判斷一個(gè)群是否單群。

 

    2、環(huán)論

 

    考試內(nèi)容：環(huán)、子環(huán)、理想、零因子、整環(huán)、歐氏環(huán)、主理想整環(huán)等

 

    考試要求：掌握環(huán)和子環(huán)的概念和性質(zhì)，掌握左右零因子、無(wú)零因子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、除環(huán)、體、域的區(qū)別，熟練掌握理想、主理想、商環(huán)的概念，掌握環(huán)同態(tài)定理和環(huán)的擴(kuò)張定理，掌握素理想和極大理想的區(qū)別和聯(lián)系，掌握環(huán)的特征、素域的概念。了解多項(xiàng)式環(huán)，整環(huán)的商環(huán)的概念，掌握唯一分解整環(huán)的概念及其性質(zhì)，掌握主理想整環(huán)和歐幾里得整環(huán)的概念及其性質(zhì)，了解各類整環(huán)的區(qū)別和聯(lián)系。

 

    3、域論

 

    考試內(nèi)容：向量空間、子空間、域擴(kuò)張(單擴(kuò)張、有限擴(kuò)張、代數(shù)擴(kuò)張）、分裂域。

 

    考試要求：掌握向量空間、子空間及空間維數(shù)的概念、掌握擴(kuò)域、單擴(kuò)張、有限擴(kuò)張、及域論基本定理，掌握代數(shù)數(shù)、超越數(shù)、代數(shù)擴(kuò)張、極小多項(xiàng)式、不可約多項(xiàng)式的概念，了解分裂域、完備域的概念及其性質(zhì)，了解有限域的概念和性質(zhì)。

 

    四、推薦書目

 

    韓士安、林磊.近世代數(shù)(第二版).北京：科學(xué)出版社,2009

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