2021年寧波大學碩士研究生招生考試初試科目

    考　試　大　綱

    科目代碼、名稱:871高等代數(shù)

    一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

    （一）試卷滿分值及考試時間

    本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

    （二）答題方式

    答題方式為閉卷、筆試。試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應(yīng)的位置上。

    （三）試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)

    考試內(nèi)容主要包括多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣理論、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間九個部分。

    二、考查范圍或考試內(nèi)容概要

    （一）多項式理論：多項式的整除，最大公因式，多項式的互素，不可約多項式與因式分解，重因式重根的判別，多項式函數(shù)與多項式的根.

    重點掌握：重要定理的證明，如多項式的整除性質(zhì)，Eisenstein判別法，不可約多項式的性質(zhì),整系數(shù)多項式的因式分解定理等.運用多項式理論證明有關(guān)問題，如與多項式的互素和不可約多項式的性質(zhì)有關(guān)問題的證明與應(yīng)用以及用多項式函數(shù)方法證明有關(guān)的問題.

    （二）行列式：行列式的定義、性質(zhì)和常用計算方法（如：三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行一列展開法、Laplace展開法、范得蒙行列式法）.

    重點掌握：n階行列式的計算及應(yīng)用.

    （三）線性方程組：向量組線性相（無）關(guān)的判別（相應(yīng)齊次線性方程組有無非零解、性質(zhì)判別法、行列式判別法、矩陣秩判別法）.向量組極大線性無關(guān)組的性質(zhì)、向量組之間秩的大小關(guān)系（向量組（Ι）可由向量組（Ⅱ）線性表示，則（Ι）的秩小于等于（Ⅱ）的秩）及三個推論、矩陣的秩（行秩和列秩、矩陣秩的行列式判別法、矩陣秩的計算）、Cramer法則，線性方程組有（無）解的判別定理、齊次線性方程組有非零解條件（用系數(shù)矩陣的秩進行判別、用行列式判別、用方程個數(shù)判別）、基礎(chǔ)解系的計算及其性質(zhì)、齊次線性方程組通解的求法，非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu).

    重點掌握：向量組線性相（無）關(guān)的判別、向量組之間秩與矩陣的秩、齊次線性方程組有非零解條件及基礎(chǔ)解系的性質(zhì)、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與其導出組的基礎(chǔ)解系的性質(zhì).

    （四）矩陣理論：矩陣的運算，矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系及其應(yīng)用（求解線性方程組、求逆矩陣、求向量組的秩）、矩陣的等價標準形、矩陣可逆的條件（與行列式、矩陣的秩、初等矩陣的關(guān)系）、伴隨矩陣及其性質(zhì)、分塊矩陣（包括矩陣乘法的常用分塊方法并證明與矩陣相關(guān)的問題）、矩陣的常用分解（如：等價分解，滿秩分解，實可逆陣的正交三角分解，Jordan分解），幾種特殊矩陣的常用性質(zhì)（如：準對角陣，對稱矩陣與反對稱矩陣，伴隨矩陣、冪等矩陣，冪零矩陣，正交矩陣等）.

    重點掌握：利用分塊矩陣的初等變換證明有關(guān)矩陣秩的等式與不等式，矩陣的逆與伴隨矩陣的性質(zhì)與求法，應(yīng)用矩陣理論解決一些相關(guān)問題.

    （五）二次型理論：化二次型為標準形和規(guī)范形，實二次型在合同變換之下的規(guī)范型以及在正交變換之下的特征值標準型的求法、慣性定律的應(yīng)用，正定、半正定矩陣的判別及應(yīng)用、正定矩陣的一些重要結(jié)論及其應(yīng)用.

    重點掌握：正定和半正定矩陣有關(guān)的證明，實二次型在合同變換之下的規(guī)范型以及在正交變換之下的特征值標準型的計算.

    （六）線性空間：線性空間、子空間的定義及性質(zhì)、求線性空間中一個向量組的秩、求線性（子）空間的基與維數(shù)的方法、基擴充定理，維數(shù)公式，基變換與坐標變換，生成子空間，子空間直和，一些常見的子空間（線性方程組解的解空間、矩陣空間、多項式空間、函數(shù)空間、線性變換的特征子空間和不變子空間）.

    重點掌握：向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的綜合證明，求線性（子）空間的基與維數(shù)的方法，維數(shù)公式的證明及應(yīng)用，特別是子空間直和的有關(guān)證明.

    （七）線性變換：線性變換的定義與運算，線性變換與n階矩陣的對應(yīng)定理，矩陣的特征多項式（包括最小多項式）及其有關(guān)性質(zhì)，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性無關(guān)特征向量的判別及最大個數(shù)，實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，特征子空間，不變子空間，核與值域的定理.線性變換（包括矩陣）可對角化的條件（特征向量判別法，最小多項式判別法），Hamilton－Caylay定理.

    重點掌握：線性變換（包括矩陣）的對角化，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性變換（矩陣）的特征值以及特征向量的性質(zhì)，線性變換的核與值域.

    （八）λ-矩陣：λ-矩陣的初等變換，λ-矩陣的標準型，行列式因子，不變因子，初等因子，三種因子之間的關(guān)系，Jordan標準型理論.

    重點掌握：求矩陣的Jordan標準型.

    （九）歐氏空間:內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡單性質(zhì)（柯西-施瓦茲不等式，三角不等式，勾股定理等）.度量矩陣與標準正交基的求法以及性質(zhì)的證明和應(yīng)用，正交變換（正交矩陣）的等價條件，對稱變換，求正交矩陣T，使實對稱矩陣A正交相似于對角矩陣.

    重點掌握：歐氏空間的概念，標準正交基，Schimidt正交化方法，正交變換和對稱變換.

    參考教材或主要參考書

    《高等代數(shù)》（第五版）北京大學編，高等教育出版社，2019年。

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