2021年寧波大學(xué)碩士研究生招生考試初試科目

    考　試　大　綱

    科目代碼、名稱:671數(shù)學(xué)分析

    一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

    （一）試卷滿分值及考試時(shí)間

    本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

    （二）答題方式

    答題方式為閉卷、筆試。試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點(diǎn)提供）相應(yīng)的位置上。

    （三）試卷題型結(jié)構(gòu)

    填空題，選擇題，解答題，計(jì)算題，證明題，應(yīng)用題。

    二、考試科目簡介

    《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課之一，是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)后繼課程的基礎(chǔ)，它的理論方法和內(nèi)容既涉及到幾百年來分析數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，又與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域有著密切的聯(lián)系。是從事數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用工作的必備知識(shí)。本大綱制定的的依據(jù)是①根據(jù)教育部頒發(fā)《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)大綱的基本要求。②根據(jù)我國一些國優(yōu)教材所講到基本內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)。要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念基本理論，掌握研究分析領(lǐng)域的基本方法，基本上掌握數(shù)學(xué)分析的論證方法，具備較熟練的演算技能和初步的應(yīng)用能力及邏輯推理能力。

    三、考試內(nèi)容及具體要求

    第1章實(shí)數(shù)集與函數(shù)

    （1）了解實(shí)數(shù)域及性質(zhì)

    （2）掌握幾種主要不等式及應(yīng)用。

    （3）熟練掌握領(lǐng)域，上確界，下確界，確界原理。

    （4）牢固掌握函數(shù)復(fù)合、基本初等涵數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。

    第2章數(shù)列極限

    （1）熟練掌握數(shù)列極限的定義。

    （2）掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)（惟一性、保序性等）。

    （3）掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等）。

    第3章函數(shù)極限

    （1）熟練掌握使用“ε-δ”語言，敘述各類型函數(shù)極限。

    （2）掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)。

    （3）掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界）。

    （4）熟練應(yīng)用兩個(gè)特殊極限求函數(shù)的極限。

    （5）牢固掌握無窮小（大）的定義、性質(zhì)、階的比較。

    第4章函數(shù)連續(xù)性

    （1）熟練掌握在X0點(diǎn)連續(xù)的定義及其等價(jià)定義。

    （2）掌握間斷點(diǎn)定以及分類。

    （3）了解在區(qū)間上連續(xù)的定義，能使用左右極限的方法求極限。

    （4）掌握在一點(diǎn)連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì)。

    （5）了解初等函數(shù)的連續(xù)性。

    第5章導(dǎo)數(shù)與微分

    （1）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，幾何、物理意義。

    （2）牢固記住求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式。

    （3）會(huì)求各類的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合、參量、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)（萊布尼茲公式））。

    （4）掌握微分的概念，并會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算。

    （5）深刻理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微之關(guān)系。

    第6章微分中值定理、不定式極限

    （1）牢固掌握微分中值定理及應(yīng)用（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。

    （2）會(huì)用洛比達(dá)法則求極限，（掌握如何將其他類型的不定型轉(zhuǎn)化為0/0型）。

    第1-6章的重點(diǎn)與難點(diǎn)

    （1）重點(diǎn)：①基本概念：極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微。②基本定理：單調(diào)有界，柯西準(zhǔn)則，歸結(jié)原則，微分中值定理。③基本計(jì)算：求極限的方法與類型。

    （2）難點(diǎn)：應(yīng)用微分中值定理，證明問題，連續(xù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用。

    第7章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

    （1）掌握單調(diào)與符號(hào)的關(guān)系，并用它證明f(x)單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等。

    （2）利用判定凹凸性及拐點(diǎn)。

    （3）了解凸函數(shù)及性質(zhì)

    （4）會(huì)求曲線各種類型的漸近線性。

    （5）了解方程近似解的牛頓切線法。

    第8章極限與連續(xù)（續(xù)）

    （1）掌握下列基本概念：區(qū)間套、柯西列、聚點(diǎn)、予列。

    （2）了解刻劃實(shí)數(shù)完備性的幾個(gè)定理的等階性，并掌握各定理的條件與結(jié)論。

    （3）學(xué)會(huì)用上述定理證明其他問題，如連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理等。

    第9章不定積分

    （1）掌握原函數(shù)與不定積分的概念。

    （2）記住基本積分公式。

    （3）熟練掌握換元法、分部積分法。

    （4）了解有理函數(shù)積分步驟，并會(huì)求可化為有理函數(shù)的積分。

    第10章定積分

    （1）掌握定積分定義、性質(zhì)。

    （2）了解可積條件，可積類。

    （3）深刻理解微積分基本定理，并會(huì)熟練應(yīng)用。

    （4）熟練計(jì)算定積分。

    （5）掌握廣義積分收斂定義及判別法，會(huì)計(jì)算廣義積分。

    第11章定積分應(yīng)用

    （1）熟練計(jì)算各種平面圖形面積。

    （2）會(huì)求旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積。

    （3）會(huì)利用定積分求孤長、曲率、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

    （4）會(huì)用微元法求解某些物理問題（壓力、變力功、靜力矩、重心等）。

    第12章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

    （1）掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的定義、性質(zhì)。

    （2）熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂、散判別法。

    （3）掌握條件、絕對收斂及萊布尼茲定理。

    第7-12章的重點(diǎn)、難點(diǎn)

    （1）重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，積分法則，微積分基本定理，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別，廣義積分?jǐn)可⑴袆e。

    （2）難點(diǎn)：實(shí)數(shù)完備性定理及應(yīng)用；定積分的可積性及可積極類的討論，定積分及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的理論證明，廣義積分及數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的阿貝爾，狄利克雷判別法。

    第13章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

    （1）了解函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)之間的關(guān)系，掌握函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂定義。

    （2）掌握函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法。

    （3）函數(shù)列的極限函數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)性質(zhì)。

    第14章冪級(jí)數(shù)

    （1）熟練冪級(jí)數(shù)收斂域，收斂半徑，及和函數(shù)的求法。

    （2）了解冪級(jí)數(shù)的若干性質(zhì)。

    （3）了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式的方法。特別牢固記住六種基本初等函數(shù)的馬克勞林展式。

    （4）會(huì)利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式。

    第15章付里葉級(jí)數(shù)

    （1）熟記付里葉系數(shù)公式，并會(huì)求之。

    （2）掌握以2π為周期函數(shù)的付里葉展式。

    （3）理解掌握定義在（0,1）上的函數(shù)可以展成余弦級(jí)數(shù)，正弦級(jí)數(shù)，一般付里葉級(jí)數(shù)。

    （4）了解收斂性定理，并掌握，貝塞爾不等式，勒貝格引理等。

    第16章多元函數(shù)極限與選擇

    （1）了解平面點(diǎn)集的若干概念。

    （2）掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質(zhì)。

    （3）掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關(guān)系。

    （4）掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義、性質(zhì)。

    （5）了解二元函數(shù)關(guān)于兩個(gè)變量全體連續(xù)與分別連續(xù)的關(guān)系。

    第17章多元函數(shù)微分學(xué)

    （1）熟練掌握，可微，偏導(dǎo)的意義。

    （2）掌握二元函數(shù)可微，偏導(dǎo)，連續(xù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，概念之間關(guān)系。

    （3）會(huì)計(jì)算各種類型的偏導(dǎo)，全微分。

    （4）會(huì)求空間曲面的切平面，法線?？臻g曲線的法平面與切線。

    （5）會(huì)求函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度。

    （6）會(huì)求二元函數(shù)的泰勒展式及無條件極值。

    第18章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

    （1）掌握由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)）公式。

    （2）掌握由m個(gè)方程n個(gè)變元組成方程組，確定n-m個(gè)隱函數(shù)組的條件，并會(huì)求這n-m個(gè)隱函數(shù)對各個(gè)變元的偏導(dǎo)數(shù)。

    （3）會(huì)求空間曲線的切線與法平面。

    （4）會(huì)求空間曲面的切平面與法線。

    （5）掌握條件極值的拉格朗日數(shù)乘法。

    第19章向量函數(shù)微分（一般了解）

    第13-19章重點(diǎn)、難點(diǎn)

    （1）重點(diǎn)：函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別，求冪級(jí)數(shù)的收斂域，和函數(shù)及其性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)展式，多元函數(shù)極限，連續(xù)、偏導(dǎo)、可微概念。計(jì)算部分：求各類偏導(dǎo)，全微分，求方向?qū)?shù)與梯度，求方程（組）確定隱函數(shù)（組）的偏導(dǎo)。應(yīng)用部分；無條件極值，條件極值，曲線的切線與法平向，曲面的切平面與法線。

    （2）難點(diǎn)：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別及性質(zhì)，條件極值。

    第20章重積分

    （1）了解二重積分，三重積分定義與性質(zhì)。

    （2）掌握二重積分的換序，變量代換的方法。

    （3）了解三重積分的換序，會(huì)用球、柱、廣義球坐標(biāo)進(jìn)行代換計(jì)算三重積分。

    （4）含參量正常積分的定義及性質(zhì)。

    （5）重積分應(yīng)用：求曲面面積，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，重心坐標(biāo)等。

    第21章含參量非正常積分

    （1）掌握含參量非正常積分一致收斂定義、性質(zhì)。

    （2）掌握含參量非正常積分一致收斂判別。

    （3）會(huì)用積分號(hào)下求導(dǎo)、積分號(hào)下做積分方法計(jì)算一些定積分或廣義積分。

    （4）了解歐拉積分，遞推公式及性質(zhì)。

    第22章曲線積分與曲面積分

    （1）熟練掌握第一、二型曲線、曲面積分的計(jì)算方法。

    （2）了解兩種曲線積分，兩種曲面積分關(guān)系。

    （3）熟練運(yùn)用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式計(jì)算。

    （4）掌握積分與路徑無關(guān)的條件。

    （5）了解場論初步知識(shí)，并會(huì)求梯度，散度，旋度。

    第20-22章的重點(diǎn)和難點(diǎn)

    （1）重點(diǎn)：二重積分換序，計(jì)算方法；曲線，曲面積分的計(jì)算。格林公式，高斯公式，斯托克斯公式的應(yīng)用，積分與路徑無關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。

    （2）難點(diǎn)：含參量廣義積分的一致收斂判別，三重積分的換序，重積分的應(yīng)用。

    參考教材或主要參考書

    《數(shù)學(xué)分析（上、下）》，陳傳璋等編著(第四版)，高等教育出版社,2018

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